5 Trabajo de Expansión

Definiciones

Trabajo: Cantidad que fluye del sistema a los alrededores a través de la frontera cuando hay cambio de estado, puede usarse para mover un objeto, por lo que se dice que la cantidad de trabajo es igual a mgh donde m es la masa, g la aceleración debida a la gravedad, y h la altura del objeto.

Consideraciones previas

El pistón que se presenta a continuación tiene un área transversal. Si se aplica una fuerza sobre el ejerce una presión.

(1)
\begin{align} P=\frac{F}{A} \end{align}

Donde F es fuerza y A es área

Simulación pistón

Al despejar la fuerza tenemos

(2)
\begin{equation} F = AP \end{equation}

Al desplazar al pistón una distancia $\Delta x$ el trabajo realizado es

(3)
\begin{align} W = -F\Delta x \end{align}

Al sustituir la fuerza

(4)
\begin{align} W=-PA\Delta x \end{align}

Como el volumen desplazado es $A \Delta x$

$\Delta V = A\Delta x$

tenemos

(5)
\begin{align} W= -P \Delta V \end{align}

El signo que adquiere el trabajo es un convencion. Si el sistema realiza trabajo sobre los alrededores el trabajo será negativo, por el contrario si los alrededores realizan trabajo sobre el sistema el trabajo será positivo.

Expansión en una sola etapa

El sistema es una cantidad de gas contenida en un cilindro dotado de un pistón sin masa y que se mueve sin fricción, la temperatura permanece constante (por medio de un termostato), la presión del aire sobre el pistón es cero (vacio), se coloca un objeto de masa M sobre el pistón.

El trabajo que se realiza sobre el objeto es:

W = Mhg

Donde M es la masa del objeto, h la diferencia de altura que recorrió el objeto y g la constante de gravedad
como el área del pistón es A,

Pop = F/A = Mg/A

(se llama presión de oposición porque se opone al movimiento del pistón)
Sustituyendo

W = PopAh = Pop (Volumen)

W = - Pop(V2-V1)

Nota importante: Pop no es presión del sistema.

Expansión en dos etapas

La expansión se realiza en varias etapas, ya sea cambiando la masa que actúa sobre el objeto (digamos cambiarla por una que sea de menor peso en cada etapa) o poniendo varios topes en el trayecto de la expansión.

y el trabajo total es la suma de los trabajos en cada etapa,

WT = W etapa 1 + W etapa 2

WT = -P1op(V2-V1) - P2op(V3-V2)

Donde P1op es la presión generada por el objeto de mayor masa (en este caso)
P2op es la presión producida por el segundo objeto de menor masa
V1 es el volumen inicial
V2 es el volumen intermedio
V3 es el volumen final.

Comparacion entre dos etapas y una etapa:

unaydos.jpg

Expansión en varias etapas

El trabajo producido es la suma de las cantidades de trabajo producido en cada etapa. Si los cambios de volumen son tan pequeños que se podrian considerar infinitesimales y la Pop es constante, se obtiene:

1.jpg

dW = -Pop dV

W = -∫ Pop dV

Cantidades máximas y mínimas de trabajo.

Signo en el trabajo

Como dijimos anteriormente si el sistema realiza trabajo sobre los alrededores pierde energía debida al trabajo por lo que por convenio establecemos que

(6)
\begin{equation} w<0 \end{equation}

Si el cambio de energía se debe solo al trabajo tenemos

(7)
\begin{align} \Delta U < 0 \end{align}
(8)
\begin{equation} U2 - U1 < 0 \end{equation}
(9)
\begin{equation} U2<U1 \end{equation}

En un expansion el sistema realiza trabajo sobre los alrededores, W<0

(10)
\begin{align} - \int_{V_1}^{V_2} P dV < 0 \end{align}

Considerando una presión constante

(11)
\begin{align} -P \Delta V <0 \end{align}
(12)
\begin{equation} -P (V_2-V_1) <0 \end{equation}

Sabemos que para una expansión V2>V1 por lo que la diferencia V2-V1>0 y P es positiva también.

Por otro lado si los alrededores realizan trabajo sobre el sistema, el sistema gana energía debida al trabajo por lo que por convenio

(13)
\begin{equation} w>0 \end{equation}

Si el cambio de energía se debe solo al trabajo tenemos

(14)
\begin{align} \Delta U > 0 \end{align}
(15)
\begin{equation} U2 - U1 > 0 \end{equation}
(16)
\begin{equation} U2>U1 \end{equation}

En una compresión los alrededores realizan trabajo sobre el sistema, w > 0

(17)
\begin{align} - \int_{V_1}^{V_2} P dV > 0 \end{align}

Considerando una presión constante

(18)
\begin{align} -P \Delta V >0 \end{align}
(19)
\begin{equation} -P (V_2-V_1) >0 \end{equation}

Sabemos que para una expansión V2< V1 por lo que la diferencia V2-V1< 0 , P es positiva.

(20)
\begin{equation} V_2 -V_1 = -(V_1-V_2) \end{equation}

En ambos lados de la igualdad el resultado es negativo para una compresión sin embrago la diferencia V1-V2 es positiva
Al sustituir en la desigualdad del trabajo

(21)
\begin{equation} -P[-(V1_-V_2)]>0 \end{equation}
(22)
\begin{equation} P(V1_-V_2)>0 \end{equation}

Donde P y la diferencia entre parentesis son positivas

Trabajo Máximo y mínimo.

Trabajo mínimo.


Si $\Delta U = 0$

(23)
\begin{equation} 0 = W + Q \end{equation}
(24)
\begin{equation} W=-Q \end{equation}

Al incrementar el número de etapas en el proceso de expansión, el trabajo se acerca al valor que corresponde al área bajo la isotérma.
Para obtener un trabajo mínimo Pop debe ser ligeramente menor que la presión del gas p en cada etapa (proceso reversible).

Pop = p - dp

entonces

Wm = - ∫ (p – dp)dV

Wm = - [∫ pdV – ∫ dpdV]

El segundo término de la integral es un infinitesimo de orden superior al primero y tiene límite a cero

Wm = - ∫ pdV

W>Wm

$-\sum_i^n P \Delta V > -\int_{V_1}^{V_2}PdV$

|W|<|Wm|

$|-\sum_i^n P \Delta V| < |-\int_{V_1}^{V_2}PdV |$

Trabajo Máximo.

Para la compresión Pop debe ser ligeramente mayor que la presión del gas Pop = p + dp en cada etapa (proceso reversible).

WM = - ∫ pdV

W <WM

$-\sum_i^n P \Delta V < -\int_{V_1}^{V_2}PdV$

|W|>|WM|

$|-\sum_i^n P \Delta V| > | -\int_{V_1}^{V_2}PdV |$

En el caso de trabajo de compresión mínimo en varias etapas la aproximación por suma de rectángulos se vería de la siguiente manera.

compresion.jpg
Bibliography
Castellan G.W., Fisicoquímica, Addison Wesley Longman, segunda edición, México, 1998.
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