9 Consecuencias de la Prmera Ley parte_1

Cambios en la energía interna con respecto a los cambios en la temperatura y volumen.

Dos propiedades faciles de medir en un sistema son T y V.
Si establecemos que la energía depende de estas dos propiedades (considerando la masa fija).

(1)
\begin{equation} U = U(T,V) \end{equation}

El cambo de energía dU esta condicionado a los cambios de temperatura dT y volumen dV mediante la diferencial total.

(2)
\begin{align} dU=(\frac{\partial U}{\partial T})_V dT+(\frac{\partial U}{\partial V})_T dV \end{align}

cualquier diferencial exacta de propiedad de estado puede expresarse de esta forma. Esta ecuación nos dice que un incremento de temperatura o volumen aumentarán el valor de la energía.

El primer término

(3)
\begin{align} (\frac{\partial U}{\partial T})_V dT \end{align}

es el aumento de energía que solo depende de la temperatura.

(4)
\begin{align} (\frac{\partial U}{\partial T})_V \end{align}

es la rapidez del aumento de energía respecto a la temperatura a volumen constante.
El segundo término

(5)
\begin{align} (\frac{\partial U}{\partial V})_T dV \end{align}

es el aumento de energía que solo depende del volumen.
Donde

(6)
\begin{align} (\frac{\partial U}{\partial V})_T \end{align}

es la rapidez del aumento de energía respecto al volumen a temperatura constante.

(4) y (6) son los derivadas parciales de la energía, si se conoce el valor de estas derivadas la ecuación de la diferencial de la energía puede integrarse para obtener la variación de la energía con respecto a las variaciones de T y V.

Figura 1
Falta figura 1

Recordando de la primera Ley

dU = dQ + dW
dU = dQ - Pop dV

igualando con (2) obtenemos

(7)
\begin{align} P_op = (\frac{\partial U}{\partial V})_T \end{align}

Cambios en la energía interna a volumen constante./Definición de Capacidad calorifica (a volumen constante)

De la diferencial exacta

(8)
\begin{align} dU=(\frac{\partial U}{\partial T})_V dT+(\frac{\partial U}{\partial V})_T dV \end{align}

cuando el volumen se mantiene constante, nos queda

(9)
\begin{align} dU=(\frac{\partial U}{\partial T})_V dT \end{align}

de la primera ley obtuvimos

dU = dQ - Pop dV

a volumen constante

(10)
\begin{equation} dU = dQ_V \end{equation}

podemos decir que el calor es el cambio de energía a volumen constante.

Igualando (9) y (10) obtenemos

(11)
\begin{align} dQ_V=(\frac{\partial U}{\partial T})_V dT \end{align}

Tanto dQV como dT pueden medrse con facildad.
de aqui obtenemos una nueva propiedad Cv, que se define como

(12)
\begin{align} C_V=\frac{\partial U}{\partial T}=\frac{dQ_V}{dT} \end{align}

cuando dV=0
Cv es la proporcionalidad entre calor y cambio de temperatura y es conocida como capacidad calorifica, es un propiedad extensiva (depende de la cantidad de materia), y sus valores pueden ser encontrados en tablas.

De aquí podemos obtener también

(13)
\begin{equation} dU = C_V dT \end{equation}

Las transferencias de calor ocurren cuando hay un gradiente de temperatura y la tendencia de neutralizar estas diferencias entre dos sistemas vecinos.
Entonces el cambio de energía del sistema es decir el calor, esta definido en función del cambio de temperatura.

para cambios infinitesimales, integramos

(14)
\begin{align} \Delta U= \int_{T_1}^{T_2} C_V dT \end{align}

Si Cv es constante en un intervalo pequeño de temperatura el resultado de la integral será

(15)
\begin{align} \Delta U = Cv\Delta T \end{align}
Bibliography
1. Castellan G.W., Fisicoquímica, Addison Wesley Longman, segunda edición, México, 1998.
2. Vázquez D. R., “Termodinámica biológica”, AGT, Editor, S.A., 2002, México.
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